Gewinnfunktionen

Gewinn des ersten Bauern:

>	Gewinn1 := (x1,x2) -> (120-2*(x1+x2))*x1-x1^2;

>	pGewinn1 := plot3d(Gewinn1(x1,x2),poptions,color=RED):

>	display(pGewinn1);

Dto. für den  zweiten Bauern:

>	Gewinn2 := (x1,x2) -> (120-2*(x1+x2))*x2-x2^2;

>	pGewinn2 := plot3d(Gewinn2(x1,x2),poptions,color=BLUE):

>	display({pGewinn1,pGewinn2});

>

Antwortfunktionen (Reaktionsabbildungen) r1 und r2

Optimale Erntemenge für Bauer 1 bei gegebenem x2:

>	r1 := solve(diff(Gewinn1(x1,x2),x1)=0,x1);

Dasselbe als Funktion von x2:

>	r1fkt := unapply(r1,x2);

Diese Kurven beschreiben die jeweiligen Gewinne längs der Bahn (x1,x2)=(r1fkt(t),t)):

>	pGewinn2_r1 := spacecurve(                   [r1fkt(t),t,Gewinn2(r1fkt(t),t)],                   t=0..60,color=GREEN,thickness=3):

>	pGewinn1_r1 := spacecurve(                   [r1fkt(t),t,Gewinn1(r1fkt(t),t)],                   t=0..60,color=BLACK,thickness=3):

>	display([pGewinn1,pGewinn1_r1,pGewinn2_r1]);

Und umgekehrt:

>	r2 := solve(diff(Gewinn2(x1,x2),x2)=0,x2);

>	r2fkt := unapply(r2,x1);

>	pGewinn1_r2 := spacecurve(                   [t,r2fkt(t),Gewinn1(t,r2fkt(t))],                   t=0..60,color=GREEN,thickness=3):

>	pGewinn2_r2 := spacecurve(                   [t,r2fkt(t),Gewinn2(t,r2fkt(t))],                   t=0..60,color=BLACK,thickness=3):

>	display([pGewinn1,pGewinn2,          pGewinn1_r1,pGewinn1_r2,          pGewinn2_r1,pGewinn2_r2]);

>

Gleichgewichtspunkt

Rechnen wir uns noch den Gleichgewichtspunkt aus (ein Wert reicht wegen Symmetrie):

>	x_gleichgewicht := solve(r1fkt(r2fkt(t))=t,t);

>	Gewinn1(x_gleichgewicht,x_gleichgewicht);

>

Ein Erdbeerkartell

Und was wäre der optimale Betrag, den beide bei perfekter Kooperation herausholen könnten (vorausgesetzt, das Kartellamt schreitet nicht ein)?

>	Gesamtgewinn := Gewinn1(x1,x2)+Gewinn2(x1,x2);

>	plot3d(Gesamtgewinn,poptions);

>	solve({diff(Gesamtgewinn,x1)=0,diff(Gesamtgewinn,x2)=0},{x1,x2});

>	Gewinn1(12,12);

>