SC²S Colloquium - February 17, 2011

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Date: February 17, 2011
Room: 02.07.023
Time: 14:45 pm


Alexander Heinecke: Integration von Adaptivität in einen Dünngitterlöser für Basket-Optionen (MA)

Die Bestimmung des Preises einer Basket Option (einer Option auf mehrere Underlyings) ist eine numerisch anspruchsvolle Aufgabe, da keine geschlossene Lösung der dazugehörigen Black-Scholes Gleichung existiert. Sie kann zum Einem über Monte Carlo Simulationen erfolgen, was aber Nachteile in der Konvergenzgeschwindigkeit und der Bestimmung von Risikomaßen mit sich bringen kann. Zum Anderen kann die multi-dimensionale Black-Scholes Gleichung, welche eine parabolische partielle Differentialgleichung ist, auch direkt gelöst werden. Da die Anzahl der Dimensionen in den interessanten Fällen größer 2-3 ist, führt eine direkte Diskretisierung mit klassischen regulären Gitteransätzen zu Lösungsvorgehen, die nicht in realistischer Zeit und mit angemessenem Speicherverbrauch ausgeführt werden können. Aus diesem Grund wird in der vorliegenden Arbeit die Methode der Dünnen Gitter angewendet, um die Black-Scholes zu diskretisieren, welche mit deutlich weniger Gitterpunkten auskommt. In der Vergangenheit hat sich allerdings herausgestellt, dass äquidistante, reguläre Dünne Gitter bisweilen zu wenig Gitterpunkte an den benötigten Stellen des zu diskretisierenden Gebiets investieren. Daher werden in dieser Arbeit voll-adaptive Dünngitterstrukturen behandelt, die eine Verfeinerung des Gebiets an solchen Stellen erlauben. Ferner wird eine logarithmische Koordinatentransformation durchgeführt, um die Kondition des zu lösenden Systems zu verbessern. Darüber hinaus wird ein effizienter Ansatz zur Parallelisierung der betrachteten Algorithmik eingeführt. Mittels dieser Erweiterungen und Anpassungen lassen sich Optionen mit bis zu fünf Underlyings ohne Probleme und effizient auf heutigen, parallelen Workstation Systemen sehr genau bewerten.