SC²S Colloquium - January 28, 2009

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Date: January 21
Room: 02.07.023
Time: 15:00 pm, s.t.

Alexander Heineke: Realisierung einer Randbehandlung für adaptive Dünngittermethoden mit Anwendungen im Data Mining und in der Finanzmathematik

In der Masterarbeit wurden Randbehandlungen für adaptive Dünngittermethoden untersucht. Hierbei wurde eine bereits existierende Dünngitteranwendung um Gitterpunkte auf dem Rand der betrachteten Gebiete erweitert. Dies geschah durch die Einführung von Level 0 Basisfunktionen. In jeder Dimension des Gitters werden zwei Basisfunktionen zusätzlich benötigt. Eine, um den linken Randwert und eine, um den rechten Randwert darzustellen.

Zudem wurden die Möglichkeiten dieser Erweiterungen im Rahmen der Klassifikation getestet. Allerdings stellte sich während der Untersuchungen heraus, dass die meisten Datensätze hauptsächlich innere Punkte besitzen. So konnte die Verwendung von Randbasisfunktionen nur bei synthetischen Datensätzen zu erheblichen Verbesserungen der Klassifikationsergebnisse führen. Besonders deutlich wurde dies beim Schachbrettdatensatz. Neben der Anwendung der Klassifikation wurden die Rand-Erweiterungen verwendet, um die mehr-dimensionale Black-Scholes Gleichung zu lösen, welche den Optionspreis zu einer Option mit mehreren Underlyings bestimmt. Das verwendete Verfahren kann einfach auf andere parabolische partielle Differentialgleichungen verallgemeinert werden, wie z.B. die Wärmeleitungsgleichung. Hier ist eine Randbehandlung unerlässlich. Die numerischen Ergebnisse zeigen für niedrig dimensionale Fälle gute Konvergenz; auch im absoluten Vergleich zu Monte-Carlo-Simulationen. Für mehr als zwei Underlyings legen die Ergebnisse eine Verwendung von adaptiven dünnen Gittern nahe. Da hier jedoch in diesem Umfeld noch zahlreiche Fragen zu klären sind, sind diese Gittertypen bei der Lösung der Black-Scholes-Gleichung nicht Gegenstand der vorliegenden Arbeit.

Zur Abrundung der gesamten Dünngitteralgorithmik wurde noch die Parallelisierung der vorgestellten Verfahren betrachtet. Hier konnten sehr gute parallele Effizienzen erreicht werden. Teilweise waren sogar super-lineare Speed-Ups möglich.