SC²S Colloquium - October 16, 2013

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Date: October 16, 2013
Room: 02.07.023
Time: 1 pm, s.t.


Stefan Kinauer: Hierarchische Optimierung mit dünnen Gittern

Ständig werden wir im täglichen Leben mit Optimierungsproblemen konfrontiert, sei es der kürzeste Weg oder die erfolgreichste Spielstrategie. Immer können Parameter beeinflusst werden, immer bewerten wir das Ergebnis. Beim Bau von Fusionsreaktoren, der Verkehrsplanung und vielen weiteren Beispielen treten besonders häufig hochdimensionale Optimierungsprobleme auf. Es ist fast unmöglich jede Parameterkombination durchzuspielen, daher greift man auf dünne Gitter zurück. Ziel des IDPs ist es, mit möglichst wenig Funktionsauswertungen eine Funktion zu optimieren, bzw. sie zu minimieren. Dazu wird kurz auf die Theorie der dünnen Gitter eingegangen, ein Alorithmus zur adaptiven Gitterverfeinerung im Hinblick auf die Minimierungsaufgabe angewandt und mithilfe der hierarchischen Basisfunktionen das Ergebnis verfeinert.


Sebastian Unsin: Level Set Approximation in High-dimensional Spaces

In dieser Arbeit wurden Methoden zur Approximation von Höhenlinien hochdimensionaler Funktionen untersucht. Höhenlinienapproximation ist für viele wissenschaftliche und technische Anwendungen von Bedeutung, sowie auch für Optimierung unter Nebenbedingungen, wenn die Nebenbedingungsfunktion nicht explizit bekannt ist. Oft sind Auswertungen der betreffenden Funktion sehr aufwendig und deshalb sind insbesondere für hochdimensionale Funktionen effiziente Verfahren gefragt, da die bekannten Gitter-basierten Ansätze hierfür nicht mehr effizient bzw. durchführbar sind. Für den Aufbau einer Approximation, die insbesondere um die betreffende Höhenlinie exakt ist, haben wir Gaußprozesse verwendet, weil sie eine effizient e Interpolation der zu approximierenden Funktion, sowie eine Schätzung des Approximationsfehlers für alle Punkte des Definitionsbereichs liefern. Die Interpolation und die Fehlerschätzung erlauben das sequentielle Hinzufügen von weiteren Funktionsauswertungen indem eine Verbesserungsfunktion maximiert wird, die heuristisch schätzt wie viel Verbesserungsbedarf an jedem Punkt des Definitionsbereichs besteht. Wir diskutieren einige aus der Literatur bekannte Verbesserungsfunktionen und eine weitere hinsichtlich Approximationsgüte und Eignung für die globale Optimierung, die jedes mal zur Auswahl einer neuen Auswertungsstelle durchgefüh rt werden muss. Des Weiteren schlagen wir einen Rand-Kontrollfaktor vor, der ineffizienten Auswertungen am Rand des Definitionsbereichs vorbeugen soll. Um die erwähnten Verfahren auf Effizienz zu testen und zu vergleichen wurde ein Algorithmus zur Fehlerschätzung entwickelt, der es auch in hochdimensionalen Räumen möglich macht, ein Maß für die Abweichung zweier Höhenlinien zu liefern. Das beschriebene Vorgehen zur Höhenlinienapproximation wurde in Matlab implementiert, wobei die Matlab Toolbox DACE die Konstruktion und Auswertung der Gaußprozesse ausgeführt hat. Abschließend wird anhand von vier Fallstudien unterschiedlicher Dimensionalität und Komplexität die Eignung des Verfahrens für die Höhenlinienapproximation diskutiert